Trigonometri

Två figurer som har samma form kallas likformiga. Man kan säga att de är olika skalor av varandra. Detta betyder att alla vinklar måste vara lika stora och att förhållandet mellan motsvarande sidor ska vara lika. De två rätvinkliga trianglarna trianglarna nedan är likformiga.

Om vi vet att två vinklar är lika i en triangel vet vi att även den tredje vinkeln är lika. Alltså är den enda kravet för att två trianglar ska vara likformiga att två vinklar är lika.

Har vi däremot två rätvinkliga trianglar är det enda kravet att en vinkel ska vara gemensam. Eftersom den räta vinkeln alltid är bestämd (90°!) kommer även den tredje vara det.

I en rätvinklig triangel kallas den längsta sidan hypotenusa, och de andra sidorna kateter. Om vi utgår från vinkeln v i triangeln nedan kallas sidan a närliggande katet och sidan b motstående katet. Utgår vi däremot från u blir b närliggande katet och a motstående. Motstående katet är den katet som är mittemot vinkeln (längst ifrån) och närliggande katet den katet som har en ändpunkt gemensam med hypotenusan.

Vi återgår till våra likformiga rätvinkliga trianglar. Vad betyder då att de är liformiga?

Jo, att förhållandet mellan motsvarande sidor är lika. Förhållandet mellan kateterna i den ena triangeln är samma som förhållandet mellan motsvarande kateter i den andra triangeln samt att förhållandet mellan en katet och hypotenusan i den ena triangeln är samma som förhållandet mellan motsvarande katet och hypotenusan i den andra triangeln.

Alltså är:

Det spelar ingen roll om du gör 1 000 eller 17 biljoner olika rätvinkliga trianglar med vinkeln v, dessa kvoter kommer alltid vara samma!

Vi konstaterar att värdet av en kvot mellan två sidor i en rätvinklig triangel bara beror på den spetsiga vinkeln och inte på storleken av triangeln. Det finns alltså samband mellan vinkeln och kvoterna. De här samband kallas sinus v, cosinus v och tangens v. De förkortas ofta sin v, cos v och tan v och definieras:

Trigonometri kan användas för att räkna ut sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar.

Antag att du vill bestämma höjden på ett berg. Du vet att det är 200 m upp till toppen av berget och att vinkeln mellan marken och berget är 30°. (Vi antar att vägen upp till berget är rakt.)

Vi börjar med att rita en bild.

Vi ser att x är mostående katet till vinkeln 30°. Vi räknar därför ut sinus för vinkeln. Vi får:

Nu vet vi att berget är 60 m högt utan att behöva göra krångliga mätningar!

Trigonometriska värden på räknaren eller med datorprogram

För att räkna ut trigonometrisk värden för olika vinklar behöver du datorprogram eller en miniräknare med knappar märkta sin, cos och tan.

Innan du börjar räkna ut någonting ska se till att din miniräknare är rätt inställd. Det finns nämligen flera enheter för vinklar. Den enhet din räknare är förinställd på är antagligen radianer, det är det mest matematiska . 1 radian ≈ 57°. Har du din räknare inställd på radianer, RAD, kommer det få ödesdigra konsekevnser. För att ställa om den till grader tryck på MODE välj DEG (degree).

För att räkna sin 40° trycker du på knappen SIN och skriver in värdet, 40, utan gradsymbol. Sedan lägger du till en parentes. Fick du svaret 0,6427 …?

Sinus, cosinus och tangens är funktioner

sinus, cosins och tangens är trigonometriska funktioner. En funktion kan ses som en maskin där man stoppar in något och får ut något annat. I de trigonometriska funktionerna stoppar vi en vinkel, till exempel 30°, och får ut ett tal, till exempel 0,5. Sinus och cosinus för en vinkel kan aldrig bli större än 1 medan tangens för en vinkel kan bli hur stort som helst.

Inversa trigonometriska funktioner

Varje vinkel har sitt unika sinusvärde, cosinusvärde och tangensvärde. Det betyder att om vi vet vad exempelvis sin v är kan vi räkna ut vinkeln v.

Säg att vi vet att sin v = 0,4. För att räkna ut vinkeln v använder den inversa funktionen till sinus:

arccussinus v som förkortas arccos v.

För cosinus och tangens heter de:

arcuscosinus eller arccos och

arccustangens, arctan

De inversa trigonometriska funktionerna är motsatsen till de trigonometriska funktionerna. Du stoppar in ett tal, exempelvis 0,5, och ut kommer en vinkel, exempelvis 30°.

På räknaren heter de inversa trigonometriska funktionerna istället

Observera bara att

För att ta reda på vilken vinkel som har sinusvärdet 0,4 skriver vi in på räknaren

Fick du vinkeln till 23,578…°?