DANIELS MATTE 

Ur det centrala innehållet:

​

• Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan.

 

• Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.

​

​

Derivatan ger information om en funktions graf

Polyonomfunktioner är funktioner på formen:

 

 

 

 

 

Grafen för en polynomfunktion är kontinuerlig och har en tangent i varje punkt. Polynomfunktioner är kontinuerliga och deriverbara i alla punkter.

 

Med en kontinuerlig funktion menas att funktionen är sammanhängande, den har inga hopp. Detta är dock inte en formell definition. Inom matematiken strävar man efter precisa och exakta definitioner. Definitionen av en kontinuerlig funktion är följande:

 

 

 

Derivatan av en funktion f kallas förstaderivatan f' (utläses "f prim"). Deriverar vi förstaderiviatan får vi andraderivatan f'' (utläses "f biss"). När man bara säger derivata menar man förstaderivata.

 

Med hjälp av försaderivatan kan vi beskriva hur grafen ser ut, vi kan ocskå lättare skissa grafen.

Vi kan ta reda på när grafen stiger/faller och var den har sina maximi-/minimipunkter. Ett gemensamt namn för maximi- och minimipunkter är extrempunkter.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafen visar funktionen f intervallet a ≤ x ≤ e. Punkterna A - F är antingen maximi- eller minimipunkter.

 

Punkten D är en lokal maximipunkt. Funktionsvärdet f(d) är större än funktionsvärdet i punkterna i dess omgivning (närhet).

 

Vi kallar funktionsvärdet f(d) ett lokalt maximivärde.

 

Punkten B är också en lokal maximipunkt men kallas även en global maximipunkt.

En global maximipunkt är den punkt som antar största värdet i ett visst intervall.  

 

Funktionsvärdet f(b) är ett lokalt maximivärde men även ett globalt maximivärde.

 

Ett globalt maximivärde är det största värdet en funktion antar  i ett visst intervall.  

 

På samma sätt är A, C och E är lokala minimipunkter. A är också en global minimipunkt.

 

 

Ett gemensamt namn för maximi- och minimipunkter är extrempunkter. En extrempunkts funktionsvärde kallas extremvärde.

 

Alla globala extrempunkter är dessutom lokala extrempunkter. 

 

En funktion kan bara ha ett globalt extremvärde men det värdet kan antas i flera punkter.

 

Skriver man bara maximi-/minipunkt menas lokal maximi-/minimipunkt.