DANIELS MATTE 

Hur stor är chansen egentligen att vinna på lotto?

Här studerar vi sannolikhet.



Ur det centrala innehållet:



• Likformig sannolikhet och metoder för att beräkna sannolikheten i vardagliga situationer.

​

• Hur kombinatoriska principer kan användas i enkla vardagliga och matematiska problem.

 

 

 

Vad är sannolikhet?

 

När du singlar slant vet du aldrig om du kommer få krona eller klave, resultatet beror av slumpen.

Hur stor chans eller risk att en händelse inträffar kallas sannolikheten för händelsen. De möjliga resultaten kallas utfall.

En del händelser är helt säkert att de inträffar, till exempel att söndag kommer efter lördag.

Andra händelser kan vi räkna ut, som att vi får ett udda antal prickar vid kast med en tärning. Men för en del sannolikheter krävs att man gör en undersökning eller ett experiment, till exempel om man vill veta vad sannolikheten är att häftstiftet kommer med stiftet upp.

 

Sannolikheten för en händelse är ett tal mellan 0 och 1. Vi kan skriva det i bråkform, decimalform eller procentform. 

 

En händelse som alltid inträffar har sannolikheten 1 (100 %). Ex: att tisdag kommer innan onsdag

En händelse som aldrig inträffar har sannolikheten 0 (0 %).  Ex: att få en sjua när man kastar en tärning

 

I vardagsspråket används ofta chans och risk istället för sannolikhet. Chans talar man om när man vill att någon ska inträffa, ”chansen för vinst är 10 %” medan risk står för en händelse man inte vill ska inträffa, ”risken att förlora är 90%”.

 

Sannolikheten att få klave när man kastar tärning är "1 på 2".

Sannolikheten att få en femma när man kastar en tärning är 1/6.

Om du drar ett kort från en kortlek är sannolikheten mindre än 0,1 att få en kung.

 

Kasta tärning

 

En tärning har sex sidor. De möjliga utfall är 1, 2, 3, 4, 5, eller 6 vid kast med en tärning. Om det inte är en falsk tärning är sannolikheten för utfallen lika stor.  Sannolikheten beräknas genom

 

 

 

 

 

Gynnsamma utfall är det man vill ska inträffa.

 

Sannolikhet betecknas med P (från engelskan probability). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Spela kort

En vanlig kortlek består av 52 kort. Det är indelade i spader ♠︎, hjärter ♥️, klöver 🍀 och ruter ♦️. Hjärter och ruter är röda medan klöver och spader är svarta.

De är sedan indelade i 13 valörer, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung och ess.

 

Markus drar ett kort på måfå (slumpmässigt). Vad är sannolikheten att få ett ess?

 

4 av 52 kort är ess. 

 

 

 

Vad är P(rött kort)?

 

Hälften av korten röda, det ger                                  .

 

 

 

Vad är P(spader kung)?

 

Endast ett av korten är spader kung. Chansen är         .

 

 

Lotter

 

På en lottring finns 50 lotter.  Det finns 5 vinster. 

Vad är sannolikheten att ta en vinstlott?

 

Den är 1 på 10, dvs 10 %. 

Hur stor är sannolikheten att ta en nitlott?

 

Den är 9 på 10, dvs 90 %.

 

Här är en vinstplan över en skraplott baserad på 600 000 lotter. Vad är sannolikheten att vinna?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Antalet vinster är ngefär 170 000 på 600 000 lotter. Chansen att vinna är                                     . 

 

 

Komplementhändelse

Chansen att få en sexa när man kastar tärning är 1/6. Vad är sannolikheten att man inte får en sexa?

Den är 1 - 1/6 = 5/6. Summan av de båda möjligheterna är ju 1/6 + 5/6 = 1.

 

Vad kan man förvänta sig?

Du singlar slant 40 gånger. Hur många gånger kan du förvänta dig att få klave? 

 

P(klave) = 1/2. Det betyder att du kan förvänta dig att få klave                       gånger på 40 kast.

 

Sannolikheten att det regn en slumpvis vald dag på en ort är 0,12. Hur många gånger kan du förvänta att det regnar under en slumpvis vald månad?

 

P(regn) = 0,12. Det betyder att på 30 dagar kan förvänta dig regn 0,12 ⋅ 30 = 3,6 ≈ 4 dagar.

 

Sannolikhet genom experiment och undersökningar

Ibland kan man inte räkna sannolikheter, utan man måste göra ett experiment eller en undersökning. Vad är till exempel sannolikheten att lampan håller fem år eller att smörgåsen hamnar med smöret ned?

 

I en stor skål ligger 200 kulor i färgerna rött och svart. Anders vill ta reda på sannolikheten att han får en röd kula. Han tar utan att titta en kula ur skålen och antecknar resultaten samt lägger tillbaks kulan. Detta upprepar han 50 gånger. Han fick följande resultat:

 

17 gånger röda kulor av 50

 

 

33 gånger svarta kulor av 50

 

Anders vet nu att det troligen är 1/3 röda kulor och 2/3 svarta kulor.

 

P(röd kula) = 1/3 och P(svart kula) = 2/3

 

Hur många röda kulor kan han förvänta sg att det finns i påsen?

 

1/3 av antalet kulor borde vara röda,                         stycken.

 

Dra kulor utan återläggning

I en godispåse finns 2o godisar. 8 av dem är sega råttar, 2 är lakrits och resten är hallonbåtor.

Tina tar en godis ur påsen utan att titta. Vad är sannolikheten att hon får en seg råtta?

 

 

 

 

Tina får en seg råtta och äter upp den. Hon tar en till godisbit. Vad är sannolikheten nu att hon återigen får en seg råtta?

 

Nu finns det bara 19 bitar i påsen och 7 av dem är sega råttor.

 

 

 

 

Kombinatorik

Du sitter på din favoritrestaurang med menyn i handen. Det finns tre förrätter, sex huvudrätter och fyra desserter. På hur många sätt kan du kombinera en trerättersmiddag?

 

För varje förrätt kan du välja 6 huvudrätter. De 3 förrätterna kan kombineras med de 6 huvudrätterna på 3 ⋅ 6 = 18 sätt. Med de fyra desserterna kan middagen kombineras på 3 ⋅ 6 ⋅ 4 = 72 sätt.

 

För att få det totala antalet möjligheter multiplicerar man antalet möjligheter med varandra. Den här regeln kallas multiplikationsprincipen.

 

Benjamin, Charles, Lena och Angelica ska gå på bio. På hur många sätt kan de ställa i kön?

 

Benjamin har fyra platser att välja på. Oavsett vilken plats Benjamin väljer finns det 3 platser kvar till till Charles. När Charles har valt placering finns det 2 möjligheter för Lena. Slutligen finns det bara ett sätt för Angelica att ställa sig i kön när de andra har valt.

 

Antalet möjligheter blir 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24.

 

I en styrelse med 10 personer ska man välja ordförande, sekreterare och kassör. På hur många sätt kan det ske.

 

Det finns 10 olika sätt att välja ordföranden. När han är vald finns det 9 personer kvar att välja till sekreterare. När sekreteraren är vald återstår 8 personer som kan bli kassörer.

 

Antalet sätt är alltså 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720.

 

Ur en klass med 20 elever ska man välja ut tre elever för att åka på en studieresa. På hur många sätt kan man välja ut dem?

 

Man kan välja ut tre elever på 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 6840.

Men nu får alldeles för många möjligheter. Varför?

Kalla de tre elever som väljs A, B och C. "A B C" och "A C B" räknas då som olika möjligheter trots att det är samma personer.

 

Vi är alltså inte intresserade av i vilken ordning personerna kommer i, bara vilka eleverna är.

 

3 personer kan väljas på 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 sätt. Vi ska alltså dela 6840 med 6 för att få antalet möjligheter utan att det spelar någon roll vilken ordning de kommer i.

 

Antalet möjligheter är                                             .