DANIELS MATTE 

Matematisk bevisföring

Ur det centrala innehållet:

 

​

Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri.

​

Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.

Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

 

 

 

Bevisföringens grunder

Matematik handlar om olika begrepp. Det kan vara cirklar, potenser eller primtal. Men vi måste ju också veta vad begreppen betyder. Vi måste definiera dem. En definition av primtal är: ”ett heltal större än 1 som inte är delbart med några andra tal än 1 och sig själv”. Då är alla överens om vad begreppet betyder. Nya begrepp definieras med begrepp som vi redan känner till. Exempelvis behöver vi veta vad delbarhet och heltal för att förstå definitionen av primtal. Definitioner gör att vi får ett enklare skrivsätt. Precis som det skulle vara jobbigt att säga ”instrumentet som man spelar genom att tillföra en luftström genom en öppning” när man pratar om flöjter blir det jobbigt i matematiken om hela tiden måste säga ”heltalet större än 1 som inte är delbart med några andra tal än 1 och sig själv” när man pratar om primtal.

 

All matematik bygger på axiom. Axiom är nämligen grundsatser som inte kräver bevis, till exempel ”två parallella linjer skär aldrig varandra i någon punkt”. Man har kommit överens om att axiomen skall utgöra själva grunden i matematiken. Skulle man kunna bevisa att ett axiom är falskt skulle hela matematiken rasa ihop.

 

En sats är ett matematiskt påsteående som har bevisats genom användning av 

definitioner, axiom och andra satser. 

 

Det som är speciellt med bevisföring i matematik är att den är baserad på logiska resonemang istället för undersökningar. Ett matematiskt bevis har inga luckor till skillnad från vardagsspråket. ”Eftersom världsrekordet i höjden är 2,45 meter kan inga människa hoppa över 3 meter” är inget bevis i matematisk mening eftersom de skulle kunna vara någon som aldrig hoppat höjdhopp på tävling som skulle klara det.

 

Bevisföring inom geometri

Med axiom och andra geometriska satser kan vi bevisa satser inom geometri.

 

Bevisföring inom aritmetik

När man bevisar satser inom aritmetik använder man ofta algebra. Man inför beteckningar och med hjälp av definitioner av de begrepp som finns med härleder man satsen.