DANIELS MATTE 

Ur det centrala innehållet:

​

• Metoder för beräkningar med komplexa tal skrivna på olika former inklusive rektangulär och polär form.

• Komplexa talplanet, representation av komplext tal som punkt och vektor.

• Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal.

• Användning och bevis av de Moivres formel.

• Algebraiska och grafiska metoder för att lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av faktorsatsen.

 

 

Våra tal räcker inte!

 

När vi för tusentals år sedan behövde räkna föremål i vår omgivning använde vi talen 0, 1, 2, 3 och så vidare. De här talen kallas de naturliga talen. Naturliga tal är alltså alla positiva tal och talet noll. 

ℕ = 0, 1, 2, 3 …

 

Så småningom utvecklades vårt samhälle med handel. Vi behövde nya tal som kunde beskriva skulder. Man införde de negativa talen. Negativa tal är mindre än noll. Vår talmängd innehöll nu både naturliga tal och de ”färska” negativa talen. Vi hade nu de hela talen.

 

ℤ = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

 

Efter en ännu massa år behövde vi ännu fler tal. Vi ville kunna beskriva delar av någonting, ”1/3 av tårtan”. Vi införde bråken, kvoten av två heltal. Nu hade vi en talmängd med både bråk och hela tal, de rationella talen.

 

ℚ = a/b, a och b heltal, b ≠ 0

 

Har du hört talas om talet π ? Det är exempel på ett tal som inte kan skrivas som ett bråk. Sådana tal kallas irrationella tal. Decimalerna fortsätter i alla oändlighet. Nu har vi både rationella och irrationella tal, de har fått namnet de reella talen.Om vi ritar en tallinje kan vi nu fylla i alla punkter på tallinjen. Varje punkt motsvarar ett reellt tal.

 

ℝ = alla tal på tallinjen

 

Det som är häpnadsväckande är att det går utvidga det hela ännu lite till! Hur ska vi exempelvis lösa ekvationen                     ? För varje reellt tal gäller det ju att                !

Vi inför helt nya tal! Vi inför det imaginära talet i:

 

 

 

Vi kan nu lösa ekvationen                    :  x = ± i.

 

 

Komplexa tal

Mängden av alla komplexa tal betecknas ℂ och är alla tal z som kan skrivas på formen a + bi, där a och b är reella tal och i den imaginära enheten med egenskapen                    .

Ett komplext tal består både av en reell del och en imaginära del.

Det gäller att

 

Re z = a      (realdelen av z)

Im z = b     (imaginärdelen av z)

                   (komplexkonjugatet av z)

 

Om a = 0 och b ≠ 0 säger man att z är ett rent imaginärt tal.

Om b = 0 är z ett reellt tal.

 

Ett exempel på ett komplext tal är 4 + 5i. Men även talen 7 och 4i är komplexa tal.

 

❗️Komplexa talen innefattar alla tal, inte bara de imaginära.

     3 - 2i är även det ett komplext tal, b = -2.

 

Representationer av komplexa tal

Reella tal kan illustreras med med en tallinje. Hur ska vi illustrera de här nya talen?

 

Vi inför ett komplext talplan!

 

Den horisontella axeln är en vanlig tallinje, realdelen, medan den lodräta är de imaginära talen, imaginärdelen. Punkten P  visar det komplexa talet 2 + 3i.