DANIELS MATTE 

 

Ur det centrala innehållet:

​

• Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska, logaritm-, exponential- och sammansatta funktioner samt produkt och kvot av funktioner.

​

• Begreppet differentialekvation och dess egenskaper i enkla tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena.

 

• Egenskaper hos logaritmfunktioner och sammansatta funktioner.

 

 

 

 

Differentialekvationer

 

Om befolkningen i en stad ökar med 1 % varje år kan det skrivas                          , där C är antalet människor vid ett givet år och x antalet år som har gått. Men vi kan också skriva det på ett annat sätt. För varje år ökar befolkningen med 0,01 av sig självt. Om vi kallar befolkning y kan skriva:

y’ = 0,01y. Minskar däremot befolkningen får vi: y’ = -0,01y. 

Det här kallas en differentialekvationen. Istället för en ekvationen med variabler, som x och y, har vi funktioner och derivator av funktioner. Derivatorna är okända och det är de vi ska hitta.

 

Innehåller ekvationen bara förstaderivatan kallas det för en differentialekvationen av första ordningen.

Exempel:

 

y’ = 0,01y

 

 

 

Innehåller ekvationen också en andraderivata är den av andra ordningen.

 

y’’ = 5x

y’’ + y’ + 5y = 3

 

 

 

 

När vi löser ekvationen 2x + 7 = 3 ska vi hitta alla tal x sådana att 2x + 7 har värdet 3.

 

Men vad menas med en lösning till differentialekvationen                    ?

 

När vi löser en differentialekvation ska vi istället för alla tal hitta alla funktioner, y(x), som uppfyller ekvationen, i detta fall alla funktioner som har derivatan               . Det kan vi göra redan nu: vi bestämmer alla primitiva funktioner till               :

 

                                                          (glöm inte konstanten!)

 

Eftersom C kan anta vilket värde som helst, allt ifrån -1730023 till π/7 säger vi att den fullständiga eller allmänna lösningen är y = x3/3 + x2/2 + C. Vi sammanfattar:

 

Lösningen till en ”vanlig ekvation” är en eller flera tal.

Lösningen till en differentialekvation är oändligt många funktioner. 

 

Om vi vill rita lösningen till differentialekvationen kan vi välja mellan oändligt många funktioner. Vi får en så kallad kurvskara:

 

Varje kurva motsvarar en speciell konstant, exempelvis C = 3 och kallas en lösningskurva. Om vi bara vill en kurva som lösning kan vi ange ett villkor som då kommer att bestämma C. Om vi exempelvis anger villkoret y(0) = 3 får vi C = 3.

 

Ett villkor i punkt, som y(0) = 3, kallas ett begynnelsevillkor. 

 

Vad händer om vi har 2 konstanter C och D?

 

 

 

Då kan vi ange ett begynnelsevillkor i en punkt, som y’(1) = 3 eller y(0) = 4.

Men vi kan också ange villkor i två punkter, som y’(2) = 4 och y(1) = 3. Då kallas villkoren randvillkor.