DANIELS MATTE 

Olika sorters tal

Människor har alltid haft ett behov av att kunna räkna, oavsett om det har varit att man vill veta hur många guldmynt man har i sin börs eller storleken av en befolkning. Men under tidens lopp har olika tal utvecklats. Olika tal? Hur kan det finnas olika tal? 



När vi för tusentals år sedan behövde räkna föremål i vår omgivning använde vi talen 0, 1, 2, 3 och så vidare. De här talen kallas de naturliga talen. Naturliga tal är alltså alla positiva tal och talet noll. 

ℕ = 0, 1, 2, 3 …



Så småningom utvecklades vårt samhälle med handel. Vi behövde nya tal som kunde beskriva skulder. Man införde de negativa talen. Negativa tal är mindre än noll. Vårt ”talförråd” innehöll nu både naturliga tal och de ”färska” negativa talen. Vi hade nu de hela talen.
ℤ = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …



Efter en ännu massa år behövde vi ännu fler tal. Vi ville kunna beskriva delar av någonting, ”1/3 av tårtan”. Vi införde bråken, kvoten av två heltal. Nu hade vi ett förråd med både bråk och hela tal, de rationella talen.
 Q = a/b, a och b heltal, b ≠ 0



Har du hört talas om talet π ? Det är exempel på ett tal som inte kan skrivas som ett bråk. Sådana tal kallas irrationella tal. Decimalerna fortsätter i alla oändlighet. Nu har vi både rationella och irrationella tal, de har fått namnet de reella talen.
Om vi ritar en tallinje kan vi nu fylla i alla punkter på tallinjen.
R = alla tal på tallinjen



De naturliga talen är en del av de hela talen som är en del av de rationella talen som i sin tur är en del av de reella talen. Vi kan rita en bild:

















 

​



Negativa tal

För att lättare kunna räkna med tal använder man en tallinje. Det är en linje där varje tal har fått ett en egen plats på linjen. Varje punkt på linjen motsvarar ett tal.
Negativa tal är mindre än 0 och ligger till vänster om talet 0 på tallinjen. De markeras med ett minustecken. För att inte blanda ihop negativa tal med subtraktion, minus kan man sätta en parentes runt.
För att visa att två tal är olika stora kan vi använda olikhetstecken. 7 är ju större än 3, då kan man skriva 7 > 3. -3 är ju mindre än 2, då skriver vi -2 < 3.
-7 är ju samma som 7 fast med ett minustecken framför. Vi säger att ett negativa tal är ett motsatt tal till till ett positivt tal. Vi kan se det på tallinjen, -7 och 7 ligger lika långt ifrån talet 0.

Om du är pank och dessutom skyldig någon 10 kr kan man säga att du har -10 kr. Skulder är alltså negativa tal. Om vi ska räkna ut 5 + (-2) kan vi tänka oss att du har 5 kr och så får du en skuld på 2 kr. Du har 2 kr mindre 5 kr - 3 kr = 2kr. Alltså är 5 + (-2) = 5 - 2 = 3.

För att räkna ut 5 - (-2) kan vi tänka oss en termometer. Vi ska räkna ut skillnaden mellan 5 plusgrader och -2 minus grader. Det blir 5 + 2 = 7. Alltså är 5 - (-2) = 5 + 2 = 7.

Men hur ska vi räkna ut 3∙(-2)? Att multiplicera, gångra är ju samma sak som att addera, plussa flera gånger. 3∙(-2) är därför samma sak som (-2) + (-2) + (-2). Detta är samma sak som att man får en skuld tre gånger. Det blir alltså -6. Så 3∙(-2) = -(3∙2) = -6.

För att räkna ut (-3)∙(-2) skriver vi om det till -(3∙(-2)). -3∙2 blev ju -6 alltså måste det bli -(-6). -(-6) är ju det motsatta talet till -6 vilket är 6. Alltså är (-3)∙(-2) = 3∙2 = 6

​

När vi ska räkna ut          kan vi tänka så här: vilket tal gånger -2 blir 6. Som vi såg innan blev (-2)∙(-3) = 6 alltså måste svaret vara

​

-3. Samma resultat får vi om vi tar           (vilket tal gånger 2 blir -6?). Alltså är          =          =         = -3



Vad händer om vi delar två negativa tal, -6 och -2? Vi tänker på samma sätt: vilket tal gånger -2 blir -6? Det är ju 3. Alltså är

 

        = 6 / 2 = 3.
​



Precis som man behöver regler när man ska spela handboll eller fotboll behöver vi inom matematiken regler för hur vi ska räkna med olika sorters tal. Det finns därför speciella räkneregler för negativa tal. Vi har till exempel sett att -6 / -2 = -3.

Istället för att vi pratar om speciella tal som 7 och -3 kan vi använda symboler, oftast bokstäver för talen. Vi kan till exempel använda a och b. Då spelar det ingen roll vilket tal det är, det gäller för alla. Vi får räkneregler för negativa tal:



Addition och subtraktion
a + (-b) = a - b
a - (-b) = a + b



Multiplikation
a∙(-b) = -a∙b
(-a)∙(-b)



Division
 





​





​

Primtal och delbarhet

Om du tar 4∙9 blir det 36. Talen 4 och 9 kallas faktorer och det man får, 36, kallas produkt.

Om du delar 36 med 9 får du 4. Resultatet 4 kallas kvot, talet 36 täljare och talet 9 nämnare.

Om du delar två hela tal kan du antingen få ett till helt tal eller bråk. Om du tar 21 delat med 3 blir det 7. Men om du delar 22 med 3 får du 7,3333 och så vidare. Om du kan dela två hela tal  med varandra så att du får ett till heltal säger man att talen är delbara med varandra. 21 är alltså delbart med 3. Vi säger att 3 är en delare till 21. Men även 7 är en delare till 21 eftersom vi kan skriva 21 som 3∙ 7.

 

 

Ett tal som inte är delbart med något annat än 1 och sig själv kallas primtal. Man brukar inte räkna 1 som ett primtal. Ett exempel på ett primtal är 5 som bara är delbart med 1 och 5. Det finns oändligt många primtal, de första tio är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 39.

​

Matematik handlar om olika begrepp. Det kan vara cirklar, potenser eller primtal. Men vi måste ju också veta vad begreppen betyder. Vi måste definiera dem. En definition av primtal är: ”ett heltal större än 1 som inte är delbart med några andra tal än 1 och sig själv”. Då är alla överens om vad begreppet betyder.
Nya begrepp definieras med begrepp som vi redan känner till. Exempelvis behöver vi veta vad delbarhet och heltal för att förstå definitionen av primtal.
Definitioner gör att vi får ett enklare skrivsätt. Precis som det skulle vara jobbigt att säga ”instrumentet som man spelar genom att tillföra en luftström genom en öppning” när man pratar om flöjter blir det jobbigt i matematiken om hela tiden måste säga ”heltalet större än 1 som inte är delbart med några andra tal än 1 och sig själv” när man pratar om primtal.



Eftersom ett primtal inte kan delas med något tal förutom 1 och sig självt kan ett primtal kan inte heller skrivas som en produkt av två eller flera heltal större än 1.



De heltalen som är större än 1 och inte är primtal kallas sammansatta. De kan skrivas som en produkt av primtal. Man säger att man kan primtalsfaktorisera det.
12 är ett sammansatt tal. Det kan skrivas som 3∙4. 4 kan i sin tur skrivas som 2∙2. 12 har alltså primfaktorerna 2, 2 och 3. Förutom att ändra på ordningen på primfaktorerna kan ett tal bara primtalsfaktoriseras på ett sätt. Man säger att de sammansatta talen kan primtalsfaktoriseras på ett entydigt sätt.



 

För att veta vilka tal ett tal är delbart med kan man ta hjälp av delbarhetsregler.

​

Ett tal är delbart med

2  om talet är jämt
3  om talets siffersumma (summan av siffrorna i talet) är delbar med 3
5  om talet slutar på 5 eller 0



Om vi vill veta om ett tal är ett primtal delar vi talet med primtalen 2, 3, 7 osv. eftersom ett primtal inte är delbart med något annat primtal. Men vi behöver undersöka framtill kvadratroten ur talet. Varför då? Jo, om vi vill veta om 67 är ett primtal testar vi framtill roten ur 67 ≈ 8. Om talet är delbart med 9 måste den andra faktorn vara mindre än 9 eftersom 9∙9 = 81. Men talen mindre än 9 har vi ju redan testat!



Bråk

Du åt en tårta i helgen. Men du åt inte upp hela utan bara 2/3. Det kallas ett bråk.

Ett bråk beskriver en andel, ett förhållande mellan två heltal.
Ett förhållande kan beskriver med flera olika bråk:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 34/51

Om man multiplicerar täljare och nämnare med samma heltal får man ett nytt bråk, fast det har

fortfarande samma värde. Vi har förlängt bråket.

 

 

 

 

Vi kan också dividera täljare och nämnare med samma heltal. Vi har då förkortat bråket.

Värdet är fortfarande samma.

 

 

 

 

När man har förkortat ett bråk så att täljaren och nämnaren inte är delbara med samma heltal större än 1 är bråket skrivet i enklaste form.

3/9 = 1/3

Det är lätt att jämföra bråk med samma nämnare. 3/4 måste ju vara större än 2/4 eftersom det är flera fjärdedelar.
Men vilket bråk är störst av 7/11 och 3/5? Ett sätt att är att göra så att de får samma nämnare, en gemensam nämnare. Det kan man göra genom att förlänga bråken med varandras nämnare.

 

 

 

 

 

 

 

Alltså är                        och då är också                    .

 

Om vi ska hitta en gemensamt nämnare till 12/16 och 14/24 blir nämnaren väldigt stor, 16∙24 = 384. Man ska istället försöka hitta den minsta gemensamma nämnaren, MGN. Det är det minsta talet som båda nämnare är delbara med.
För att hitta MGN till 9 och 12 primtalsfaktoriserar vi talen. VI får 9 = 3∙3 och 12 = 3∙2∙2.
Vi ska sedan multiplicera 12 med de faktorer finns i 9 men inte 12. 3 finns ju i båda men 9 har ju två faktorer av 3. Därför ska vi multiplicera 12 med en extra faktor 3 och får MGN (9,12) = 12∙3 = 36.



Addition och subtraktion av bråk
Om vi adderar (plussar) eller subtraherar (minus) bråk med samma nämnare är det bara att addera eller subtrahera täljarna.

 

 

Precis som det är svårt att se vilket bråk som störst om de har olika nämnare är det svårt att addera eller subtrahera bråk med olika nämnare. Vi måste därför förlänga bråken så att de får samma nämnare, en gemensam nämnare.

 

 

 

 

 

Om täljaren är större än nämnaren i ett bråk kan vi dela upp i hela och bråkdelar. Exempelvis är 12/7 = 1 5/12. Bråket är nu skrivet i blandad form.



Multiplikation och division av bråk

För att räkna ut              kan vi tänka oss att vi ska räkna ut vad en tredjedel av 2/5. Om vi delar en femtedel i tre delar får

 

femtondelar. Svaret blir alltså 2/15.

 

När vi multiplicerar två bråk multiplicerar vi täljare och nämnare var för sig. Sedan ska resultatet helst göras till enklaste form.

 

 

 

Inverterat tal

Om vi byter plats på täljare och nämnare i ett bråk fårvi det inverterade talet till bråket. Det inverterade talet till 3/4 blir då 4/3. Om du multiplicerar ett tal med dess invertade tal får du 1.

 

 



 

Vad är då inverterade tal till 5? 5 kan ju skrivas 5/1 och då blir svaret 1/5.

 

Division av bråk

 

 

För att räkna ut        kan vi tänka oss att vi ska räkna hur åttondelar det får plats på en halv. Eftersom det får plats 8 åttondelar på en

 

 

 

hel måste det få plats 4 åttondelar halv. 

 

 

 

 

 

 

 

Om vi förlänger kvoten med det inverterade talet till nämnaren händer något intressant.

 

 

 

 

 

 

Vi har gjort om divisionen till en multiplikation! 1/2 ∙ 8 är ju lätt att räkna ut. Det blir                                 .

 

För att dividera två bråk multiplicerar man täljaren med nämnarens inverterade tal.