DANIELS MATTE 

Differentialekvationer

 

Om befolkningen i en stad ökar med 1 % varje år kan det skrivas y = C 1,01x, där C är antalet människor vid ett givet år och x antalet år som har gått. Men vi kan också skriva det på ett annat sätt. För varje år ökar befolkningen med 0,01 av sig självt. Om vi kallar befolkning y kan skriva:

y’ = 0,01y. Minskar däremot befolkningen får vi: y’ = -0,01y. 

Det här kallas en differentialekvationen. Istället för en ekvationen med variabler, som x och y, har vi funktioner och derivator av funktioner. Derivatorna är okända och det är de vi ska hitta.

 

Innehåller ekvationen bara förstaderivatan kallas det för en differentialekvationen av första ordningen.  

y’ = 0,01y

dy/dx + xy = 7

 

Innehåller ekvationen en andraderivata också är den av andra ordningen.

 

y’’ = 5x

y’’ + y’ + 5y = 3

d2y/dx2+ 3xy = 9xy2

 

När vi löser ekvationen 2x + 7 = 3 ska vi hitta alla tal x sådana att 2x + 7 har värdet.

 

Men vad menas med en lösning differentialekvationen y’ =x2 + x?

 

När vi löser en differentialekvation ska vi istället för alla tal hitta alla funktioner, y(x), som uppfyller ekvationen, i detta fall alla derivator som har derivatan x2 + x. Det kan vi göra redan nu: vi bestämmer alla primitiva funktioner till x2 + x:

 

y’ = x2 + x ⇒ y = x3/3 + x2/2 + C (glöm inte konstanten!)

 

Eftersom C kan anta vilket värde som helst, allt ifrån -1730023 till π2/7 säger vi att den fullständiga eller allmänna lösningen är y = x3/3 + x2/2 + C. Vi sammanfattar:

 

Lösningen till en ”vanlig ekvation” är en eller flera tal.

Lösningen till en differentialekvation är oändligt många funktioner. 

 

Om vi vill rita lösningen till differentialekvationen kan vi välja mellan oändligt många funktioner. Vi får en så kallad kurvskara:

 

Varje kurva motsvarar en speciell konstant, exempelvis C = 3 och kallas en lösningskurva. Om vi bara vill en kurva som lösning kan vi ange ett villkor som då kommer att bestämma C. Om vi exempelvis anger villkoret y(0) = 3 får vi C = 3.

 

Ett villkor i punkt, som y(0) = 3, kallas ett begynnelsevillkor. 

 

Vad händer om vi händer om vi har 2 konstanter C och D?

 

y’’ = x ⇒ y’ = x2/2 + C ⇒ y’’ = x3/6 + Cx+ D

Då kan vi ange ett begynnelsevillkor i en punkt, som y’(1) = 3 eller y(0) = 4.

Men vi kan också ange villkor i två punkter, som y’(2) = 4 och y(1) = 3. Då kallas villkoren randvillkor.