Vektorer

Tid, massa och temperatur har ett visst värde, 50 kg eller 12°C. Vi säger att de har en viss storlek, vilket kallas skalärer. Men hastighet och acceleration har även en riktning, man kan ju både köra framåt och bakåt. De kallas därför vektorer.

En skalär har bara en storlek medan en vektor har både en storlek och riktning.

För att beteckna en skalär använder vi ett tal.

För att beskriva en vektor grafiskt används en pil, pilens längd anger storleken, och pilens riktning vektorns riktning. En vektor som startar i A och slutar i B betecknas , men kan även betecknas exempelvis och .

Längden av en vektor v betecknas eller v.

Det finns en speciell vektor som har längden 0 och saknar riktning. Den kallas nollvektorn och betecknas .

Det spelar ingen roll var vektorn är placerad, man kan flytta en vektor utan att den ändras.

Vektorer med samma längd och riktning är lika.

I figuren är alla vektorer lika. Vi säger därför att vektorn AB är en representant för vektorn .

Mängden av alla lika riktade och lika långa sträckor kallas en vektor.

Vi kan representera vektorer med sträckor som har en bestämd start- och slutpunkt. Mellan punkterna A och B kan du dra en sträcka AB. Beroende på hur punkterna ligger har sträckan olika riktning.

Sträckorna kallas därför riktade sträckor. Men du får egentligen två riktade sträckor, dels den riktade sträckan och dels . börjar i A och har riktning mot A, medan börjar i B och är riktad mot A. De har motsatt riktning.

Riktade sträckor bestäms alltså av riktning, storlek och angreppspunkt.

Sträckorna och är parallella. Två riktade sträckor är parallella om de har samma riktning eller motsatt riktning.

Två vektorer som är lika långa men har motsatt riktning kallas motsatta vektorer. Den motsatta vektorn till vektorn betecknas .

Eftersom en vektor är lika om den har samma längd och riktning kan vi förflytta en vektor i dess egen riktning. Varje vektor som finns i ett koordinatsystem kan parallellförflyttas till origo. Vektorn ändrar position i koordinatsystemet men har fortfarande samma riktning och längd och är därför lika.

Räkneoperationer med vektorer

Summan av två vektorer och blir en tredje vektor, och kallas resultanten till vektorerna och som kallas komposanter. (Komposant + komposant = vektor)

För att addera två vektorer, alltså att hitta den resultaterande vektorn kan vi använda parallellogrammetoden. Vi ritar vektorerna så att de startar i samma punkt och bildar sedan ett parallellogram. Diagonalen i paralleogrammet är summan.

Ett andra sätt är att rita vektorerna så att vektorn :s startpunkt placeras vid vektorn :s slutpunkt. Vektorn som börjar där startar och slutar där slutar är summan. Metoden kallas polygonmetoden och är effektivare när man adderar fler än två vektorer.

När vi använder parallellogrammetoden placerar vi vektorerna så att vektorna har samma startpunkt, medan polygonmetoden går ut på att placera vektorerna i en följd så att den ena vektorns startpunkt överensstämmer med den andra vektorns slutpunkt.

Multiplikatio

Om vi multiplicerar en vektor med en skalären 2, alltså talet 2, blir produkten även den en vektor. Den nya vektorn är nämligen dubbelt så lång som och har samma riktning som .

Multiplicerar vi istället vektorn med -2 blir den nya vektorn även nu 2 men har motsatt riktning jämfört med .

Allmänt gäller: Vektorn är k gånger så lång som .

Om k > 0 har och samma riktning.

Om k < 0 har motsatt riktning jämfört med .

och är motsatta vektorer.

Hur subtraherar vi då två vektorer och ? Eftersom ska vi alltså beräkna summan av vektorn och den motsatta vektorn till .

Om vi parallellförflyttar så att den ena vektorns startpunkt stämmer överens med den andra vektorns slutpunkt kan vi använda polygonmetoden.

Vi kan även rita vektorerna så att de har samma startpunkt. pekar då från vektorn som subtraheras mot vektorn som den subtraheras ifrån. Vi har då använt parallellogrammetoden.

Vektorer i koordinatform

För att enkelt kunna beskriva en vektor kan vi använda koordinater på liknande sätt som för punkter.

Alla vektorer kan parallellförflyttas till origo. Fördelen med detta är att man kan ange varje vektor med hjälp av slutpunktens koordinater.

När du adderar två vektorer, komposanterna, för då en ny vektor, resultanten. På samma sätt kan vi dela upp en vektor i två vektorer, komposanter. Eftersom vi arbetar med rätvinkliga koordinatsystemt är det enklast att använda två komposanter som är parallella med koordinataxlarna.

Vektorn kan delas upp i komposanten , i x-axelns riktning och , i y-axelns riktning. Vi skriver att

För att kunna ange koordinater inför vi två nya vektorer, , i x-axelns riktning med längden 1 och , i y-axelns riktning med längden 1. De kallas enhetsvektorer. Vi kan nu uttrycka vektorn med enhetsvektorerna och i koordinatform

Talen 2 och 3 är koordinater med avseende på basvektorerna och . Det är samma koordinat som vektorns spets när den är placerad med utgångspunkt i origo.

För att addera vektorerna och skriver vi om de med komposanter:

Det gäller alltså att:

Vi får följande täknelagar för vektorer i det rätvinkliga koordinatsystemet. Vi får de andra lagarna på samma sätt: