Kurvor och integraler

Ur det centrala innehållet:

Skissning av grafer och tillhörande asymptoter

Egenskaper hos absolutbeloppet som funktion

Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av integraler med och utan digitala verktyg, inklusive beräkningar av storheter och sannolikhetsfördelning.

Skissning av grafer och asympoter

När vi dividerar två polynom p(x) och q(x) får vi en rationell funktion r(x). Eftersom division med noll inte är tillåtet behöver de inte vara definierade för alla värden på den oberoende variabeln. Genom att hitta nämnarens nollställen hittar vi "hålen" i definitionsmängden, x-värden då funktionen inte är definierad.

Funktionen är en kvot av det konstanta polynomet 1 och ett polynom av grad 1, x.

Den är inte definierad då x=0 eftersom division med noll inte år tillåtet.

Av samma anledning är funktionen

inte definierad för x=90° + n ∙ 180° eftersom nämnaren blir noll då..

Hur ser då grafen till ut?

Om vi ritar grafen till ser vi att funktionen består av två delar, en del i första kvadranten

och en del i tredje kvadranten.

Hur kan vi förklara detta? Varför är det så?

Vi vet ju att funktionen inte är definiterad då x=0. Men vi ser att den växer obegränsad ("går mot oändligheten") när x närmar sig 0 från höger. Ju närmare vi kommer noll från höger desto större funktionsvärde får vi, men vi kan aldrig komma fram till x=0! Vi skriver

På samma sätt avtar funktionen obegränsat (går mot minus oändligheten) då x närmar sig från vänster.

Vi skriver

Det spelar alltså roll om vi närmar oss x=0 från höger eller vänster. Varför är det så?

Om du delar ett tal, säg 100, med ett annat tal, 10, blir kvoten 10. Delar du istället 100 med 20 blir kvoten 5. Om du delar ett tal med större tal får du alltså inte ett större tal utan ett mindre tal! Ju större nämnare, desto mindre kvot och ju mindre nämnare desto större kvot. Om du tar 1 delat med 0,001 får du ett tal som är mycket större än 1 nämligen 1000.

Om du däremot tar 1 delat med ett mycket litet negativt tal, säg -0,001, blir kvoten istället mycket negativ, -1000.

På grafen ser man att grafen närmar sig linjen x=0, dvs y-axeln, då x närmar sig noll. Avståndet mellan kurvan och linjen går alltså mot noll då x → ∞. Man säger att y-axeln är en lodrät eller vertikal asymptot. En asymptot är en linje som funktion närmar sig, men aldrig når.

Av grafen ser vi äevn att ju mer åt höger vi går på x-axeln, desto närmare y-värdet 0 kommer vi, "y-värdet går mot noll".

Då kan vi skriva .

Anledning till detta är att en större nämnare ger en mindre kvot, till exempel 1/1000 är ju ett väldigt litet tal.

Vi ser att samma sak händer då x blir mer och mer negativt. Vi skriver då

Till exempel om x=- 1000 blir funktionsvärdet -0,001, vilket är ungefär noll.

Ju längre ut på grafen, till höger och vänster, vi kommer desto mer närmar sig grafen linjen y=0, dvs x-axeln. Vi kallar x-axeln för en horisontell eller vågrät asymptot och y-axeln för en vertikal eller lodrät asymptot.

Så hittar man asymptoter till en rationell funktion:

Funktionen har lodräta asympoter x=a då f(x) ej är definierad dvs för q:s nollställen.

Horisontella asympoter hittas genom att undersöka gränsvärdet av f(x) då x går mot plus eller minus oändligheten.

Allmänt gäller:

Om eller är det en vertikal eller lodrät asymptot

Om eller är det en horisontell eller vågrät asymptot

Ex: Bestäm asympoter till .

För att hitta lodräta asympoter undesröker vi när funktionen inte är definierad. När x + 2=0 eller x=-2 är den ej definierad. Detta betyder att linjen x=-2 är en lodrät asymptot.

För att hitta horisontella asymptoter undesröker vi vad som händer när x blir mycket stort positivt eller negativt. Vi inser att funktionsvärdena kommer gå åt noll i båda fallen, så y=0, dvs x-axeln är en horisontell asymptot.

I själva verket kommer alla funktioner där täljarens grad är mindre än nämnarens grad ha den horisontella asymptoten. T ex 2/x^4. Termen med högst gradtal är ju den som dominerar så nämnaren kommer "vinna" över täljaren och kommer därför gå mot noll för till beloppet stora värden på x.

Täljare och nämnare har samma grad

Ex:

För att hitta asymptoter gör vi följande omskrivning:

När x går mot plus eller minus oändligheten kommer gå mot noll så f(x) → 1 - 0=0. Detta innebär att y=1 är en horisontell asymptot.

Vi kan också resonera som så att för stora x är x + 2 ≈ x, så kvoten kommer vara ungefär x/x=1.

Generallt har alla rationella funktioner där täljaren och nämnaren har samma gradtal en horisontell asymptot y=m, där m är en konstant. Detta beror på att alla andra termer i nämnaren och täljaren kan försummas eftersom det högsta gradtalet domineras. m ges alltså av kvoten mellan koefficienterna för den högsta graden.

Sneda asymptoter

Funktioner kan också ha asympoter som varken är lodräta eller horisontella utan är sneda.

Ex:

Om vi ritar grafen ser den ut så här:

Den har en lodrät asymptot x=-1 eftersom nämnaren är noll. Men för till beloppet stora x-värden ser grafen ut att närma sig linjen y=2x+2.

För att undersöka om det stämmer gör vi följande omskrivning:

Då x → ± ∞ går mot noll och funktionen går mot y=2x+2. Vi kan också uttrycka det som att för

till beloppet stora värden för x är 1 obetydligt i jämförelse med x+1.

Generallt gäller att alla rationella funktioner som har en täljare med ett gradtal än nämnaren kommer att ha en sned asymptot.

Vi har nu sett följande:

En rationell funktion har

y-axeln som horisontell asymptot om p har lägre grad än q

en horisontell asymptot x=m, där m är en konstant, om p och q har samma gradtal

en sned asymptot y=kx + m om p har högre grad än q

DANIELS MATTE

Upptäck matten från en ny vinkel