DANIELS MATTE 

Här studerar vi funktioner och algebra.



Ur det centrala innehållet:

​

​

Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer.


 

Algebraiska uttryck, formler och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven.


 

Metoder för ekvationslösning.



 

Funktioner och räta linjens ekvation. Hur funktioner kan användas för att undersöka förändring, förändringstakt och andra samband.

 

 

 

Algebraiska uttryck

 

Om du köper 3 hg lösgodis för 8,90 kr/hg, 2 hg jordnötter för 10,90 kr/hg och dessutom en chipspåse för 35 kr blir priset 3 ∙ 8,90 + 2 ∙ 10,90 + 35 = 83,50 kr. Vi har beräknat värdet av uttrycket. Eftersom uttrycket bara innehåller siffror, inga variabler, kallas det för ett numeriskt uttryck.

 

Om vi inte vet hur mycket godis och nötter vi vill köpa kan vi beskriva priset med det algrebaiska uttrycket 8,90x + 10,90y + 35, där x står för hur mycket godis vi köper och y hur mycket jordnötter. Bokstäverna står för tal, vilka som helst. Eftersom x och y kan variera, ha olika värden, kallas de variabler. 

 

För att räkna ut värdet av uttrycket sätter vi in de värdena som x och y har. 

35 kallas konstantterm eftersom den inte kan ändra värde. Tillsammans kallas ”8,90x” för en variabelterm. Talet 8,90 kallas koefficient. Den står före variabeln, x.

 

För att göra det lättare för sig skriver man oftast inte ut multiplikationstecknet mellan koefficienten och variabeln. Man skriver 8,90x istället för x∙8,90.

 

Att förenkla uttryck

 

Istället för att behöva skriva 3 + 3 + 3 + 3 kan skriva 4∙3. Samma sak gäller för variabler, x + x = 2x. Alltså blir 4x + 2x = (x + x + x + x) + (x + x) = 6x.

Vi säger att vi har förenklat uttrycket 4x + 2x. På samma sätt fungerar det med minus.

 

OBS!

Vi kan inte förenkla uttrycket 3x + 4y (eller 3x - 4y) eftersom termerna är av olika slag. Om du har 3 apelsiner och 4 bananer kan du ju inte säga att du har 7 bananapelsiner, det går inte att förenkla mer!

 

När man har termer av olika slag, till exempel x och y, måste man räkna de var för sig.

För att förenkla 3x + 4y + 2x - y grupperar vi de efter sort, 3x + 2x + 4y - y. Sen är det bara att förenkla som vanligt 3x + 2x + 4y - y = 5x + 3y.

 

När ett plustecken står framför en parentes kan du ta bort parentesen.

3x + (4x + 3y) = 3x + 4x + 3y = 7x + 3y

 

När ett minustecken står framför en parentes måste du ändra alla tecken som finns i parentesen.

3x + (4x - 3y) = 3x + 4x + 3y = 7x - 3y

 

Multiplicera och faktorisera uttryck

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Den här rektangelns area kan vi räkna ut på två sätt:

 

Arean = 4∙(2 + 3) eller 

Arean =  4∙2 + 4∙3

 

Alltså är 4(2 + 3) = 4∙2 + 4∙3! (det är ju samma area)

 

Vi kan alltså ta bort parentesen om vi multiplicerar alla termer med 4.

 

På precis samma sätt fungerar algebraiska uttryck:

 

a(b + c) = ab + ac

 

Om alla termer i ett uttryck har en gemensam faktor kan vi faktorisera uttrycket genom att bryta ut faktorn. 

 

25a + 5 = 5(5a + 1)

 

Vi har nu skrivit uttrycket som en produkt. Det är användbart när man förkortar bråk.

 

Ekvation

 

En ekvation är en likhet som innehåller minst en obekant, till exempel x. 2x + 4 = 10 är exempel på en ekvation. Det första uttrycket, 2x + 14 kallas vänsterled, VL och det andra uttrycket högerled, HL. När vi löser en ekvation söker vi det värde (eller värden) på den obekanta (eller de obekanta), x, som gör att likheten är sann.  

 

Ekvationer som 2x + 4 = 10 kallas förstagradsekvationer eftersom den obekanta inte har högre exponent än 1.

 

En förstagradsekvation har oftast en lösning. x = 2 är en lösning till vår ekvation därför att 2∙2 + 4 = 10. Ett annat namn för lösning är rot.

 

När vi har fått en lösning till en ekvation kan man kontrollera att den stämmer genom att sätta in lösningen och se om likheten blir sann. Det kallas en prövning.

 

När vi löser en ekvation vill man ha den obekanta ensam i ena ledet. Vi vill alltså ta bort allt som står i samma led som den obekanta. Det kan man göra genom att addera, subtrahera, multiplicera eller dividera med vilket tal som helst (inte x), bara man gör likadant i båda leden.

 

x + 7 = 10 ⇔ x + 7 - 7 = 10 - 7 ⇔ x = 3

 

Vid svårare ekvationer behöver man ofta använda en kombination av räknesätten:

 

2x + 4 = 6 ⇔ 2x + 4 - 4 = 6 - 4 ⇔ 2x = 2 ⇔ 2x/2 = 2/2 ⇔ x = 1