Algebra & ekvationer

Ur det centrala innehållet:

Generalisering av aritmetikens räknelagar till att

hantera algebraiska uttryck.

Begreppet linjär olikhet.

Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationer och olikheter
samt potensekvationer.

Algebraiska uttryck

Om du köper 3 hg lösgodis för 8,90 kr/hg, 2 hg jordnötter för 10,90 kr/hg och dessutom en chipspåse för 35 kr blir priset 3∙8,90 + 2∙10,90 + 35 = 83,50 kr. Vi har beräknat värdet av uttrycket. Eftersom uttrycket bara innehåller siffror, inga variabler, kallas det för ett numeriskt uttryck.

Om vi inte vet hur mycket godis och nötter vi vill köpa kan vi beskriva priset med det algrebaiska uttrycket 8,90x + 10,90y + 35, där x står för hur mycket godis vi köper och y hur mycket jordnötter. Bokstäverna står för tal, vilka som helst. Eftersom x och y kan variera, ha olika värden, kallas de variabler.

För att räkna ut värdet av uttrycket sätter vi in de värdena som x och y har.

35 kallas konstantterm eftersom den inte kan ändra värde. Tillsammans kallas ”8,90x” för en variabelterm. Talet 8,90 kallas koefficient. Det står före variabeln, x.

För att göra det lättare för sig skriver man oftast inte ut multiplikationstecknet mellan koefficienten och variabeln. Man skriver 8,90x istället för x∙8,90.

Att förenkla uttryck

Istället för att behöva skriva 3 + 3 + 3 + 3 kan skriva 4∙3. Samma sak gäller för variabler, x + x = 2x. Alltså blir 4x + 2x = (x + x + x + x) + (x + x) = 6x.

Vi säger att vi har förenklat uttrycket 4x + 2x. På samma sätt fungerar det med minus.

⚠️ Vi kan inte förenkla uttrycket 3x + 4y (eller 3x - 4y) eftersom termerna är av olika slag. Om du har 3 apelsiner och 4 bananer kan du ju inte säga att du har 7 bananapelsiner, det går inte att förenkla mer!

När man har termer av olika slag, till exempel x och y, måste man räkna de var för sig.

För att förenkla 3x + 4y + 2x - y grupperar vi de efter sort, 3x + 2x + 4y - y. Sen är det bara att förenkla som vanligt, 3x + 2x + 4y - y = 5x + 3y.

När ett plustecken står framför en parentes kan du ta bort parentesen.

3x + (4x + 3y) = 3x + 4x + 3y = 7x + 3y

När ett minustecken står framför en parentes måste du ändra alla tecken som finns i parentesen.

3x + (4x - 3y) = 3x + 4x + 3y = 7x - 3y

Multiplicera och faktorisera uttryck

Den här rektangelns area kan vi räkna ut på två sätt:

Arean = 4∙(2 + 3) eller

Arean = 4∙2 + 4∙3

Alltså är 4(2 + 3) = 4∙2 + 4∙3! (det är ju samma area)

Vi kan alltså ta bort parentesen om vi multiplicerar alla termer med 4.

På precis samma sätt fungerar algebraiska uttryck:

a(b + c) = ab + ac

Om alla termer i ett uttryck har en gemensam faktor kan vi faktorisera uttrycket genom att bryta ut faktorn.

25a + 5 = 5(5a + 1)

Vi har nu skrivit uttrycket som en produkt. Det är användbart när man förkortar bråk.

Ekvation

En ekvation är en likhet som innehåller minst en obekant, till exempel x. 2x + 4 = 10 är exempel på en ekvation. Det första uttrycket, 2x + 14 kallas vänsterled, VL och det andra uttrycket högerled, HL. När vi löser en ekvation söker vi det värde (eller värden) på den obekanta (eller de obekanta), x, som gör att likheten är sann.

Ekvationer som 2x + 4 = 10 kallas förstagradsekvationer eftersom den obekanta inte har högre exponent än 1.

En förstagradsekvation har oftast en lösning. x = 2 är en lösning till vår ekvation därför att 2∙2 + 4 = 10. Ett annat namn för lösning är rot.

När vi har fått en lösning till en ekvation kan man kontrollera att den stämmer genom att sätta in lösningen och se om likheten blir sann. Det kallas en prövning.

När vi löser en ekvation vill man ha den obekanta ensam i ena ledet. Vi vill alltså ta bort allt som står i samma led som den obekanta. Det kan man göra genom att addera, subtrahera, multiplicera eller dividera med vilket tal som helst (inte x), bara man gör likadant i båda leden.

x + 7 = 10 ⇔ x + 7 - 7 = 10 - 7 ⇔ x = 3

Vid svårare ekvationer behöver man ofta använda en kombination av räknesätten:

Ekvationer med nämnare

För att lösa en ekvation med olika nämnare börjar vi med att ta bort nämnarna. Det gör man genom att hitta den gemensamma nämnaren, MGN. Om man sedan multiplicerar båda leden i ekvationen med MGN kommer nämnarna att förkortas bort.

Vad händer om man har x i nämnarna? Det enda man behöver tänka på är att nämnarna inte blir 0 när du sätter in den obekantas värde eftersom division med 0 inte är definierat.

Vår lösning uppfyller x ≠ 0 och är alltså riktig.

Ekvationen som en matematisk modell

För att kunna förutse vad som kan kommer hända runtom om i världen, till exempel hur befolkningen i en by eller i världen kommer att utvecklas, kan man göra en matematisk modell över den verkliga situationen. Det kan vara genom en en ekvation eller en formel. På så sätt förenklar modellen verkligheten. Men eftersom det bara är modell kan man inte vara säker på att den exakt kan förutsäga verkligheten. Om vi lyckas hitta en funktion eller formel som beskriver hur en kopp kaffe svalnar i rumstemperatur ställer vi oss frågan: är modellen rimlig? Har den några begränsningar? Kanske fortsätter vår temperaturen i vår modell att minska så att den blir under rumstemperaturen efter några timmar. Det är ju omöjligt! Vår modell är därför bara rimlig i början. Då ställer man sig frågan: kan vi förbättra modellen?

Matematiska modeller används som hjälpmedel i andra ämnen, framför allt naturvetenskapen. Man brukar säga att matematiken är naturvetenskapens drottning. För att bygga en bro gör ingenjörerna avancerade matematiska modeller för att beskriva hur bron svänger när luften sätter bron i svängning och kan därmed utrusta den på bästa sätt.

Vad är egentligen ett matematiskt problem? Det finns olika uppfattningar om den frågan, men en vanlig förklaring är att det är en uppgift där man inte på förhand vet hur man löser uppgiften. Om du får till uppgift att köpa en liter mjölk vet du ju på förhand hur du löser uppgiften. Du går till butiken och köper mjölken!

Det är alltså skillnad på matematiska problem och rutinuppgifter. Rutinuppgifter som "beräkna 7 + 2∙3" eller "förenkla 2(x + 3) - 3" vet man hur man ska lösa. Matematiska problem som "bestäm entalssiffran i

"måste du komma på hur du ska lösa och du behöver ofta använda kunskaper från flera olika områden.

Att lösa ett problem med hjälp av en matematisk modell innebär att först översätta problemet till en modell, exempelvis en ekvation som stämmer överens med problemet. Sedan löser vi ekvationen. Sist utvärderar vi resultatet, vi går tillbaka till problemet och ser om lösningarna verkar rimliga. I och med att en modell bara är en förenkling av verkligheten kan det hända att man måste förkasta lösningar som är korrekta i modellen, men orimliga i verkligheten. Om du får fram att en sträcka är, säg 3m samt -3 m måste du förkasta den negativa lösningen eftersom en sträcka inte kan vara negativ i verkligheten.

Vi sammanfattar:

1. Översättning

Inför beteckningar, exempelvis x. Översätt problemet till exempelvis en ekvation.

2. Genomförande

Lös ekvationen. Här kan man bortse från det verkliga problemet för tillfället.

3. Utvärdering

Återgå till problemet. Tolka lösningarna (vad innebär det att x = ...?) och formulera ett svar till problemet.

Potensekvationer

För att räkna ut sida i en kvadrat med arean ställer vi upp ekvationen . Det kallas för en andragradsekvation eftersom den innehåller exponenten 2. För att lösa en sådan ekvation behöver vi en annan metod lösningmetod än för förstagradsekvationer, linjära ekvationer. Vi ser att en lösning är x = 3

eftersom . Men även x = -3 är en rot, . Andragradsekvationer kan alltså ha två lösningar, en negativ och en positiv. När man har två lösningar kan man skriva .

I det verkliga problemet får en sträcka inte vara negativ, alltså är sidan 3 m. Vi har förkastat roten x = -3.

Kvadratroten ur ett positivt tal a är det tal vars kvadrat är a. Det gäller även för 0.

Ekvationen har lösningarna samt .