DANIELS MATTE 

Vad är en mängd?

En uppsättning objekt kallas inom matematiken för en mängd. Objekten i mängden kallas element och kan lika gärna vara abstrakta som konkreta.  Ett element får inte förekomma fler än en gång i en mängd. Talen (0, 0, 1) är alltså ingen mängd. Ordningen av elementen spelar ingen roll.

Elementen skrivs med liten bokstav, exempelvis a. Mängder skrivs med stora bokstäver, till exempel M.

 

För att visa att ett element tillhör en mängd används symbolen ∈, att den inte tillhör mängden ∉.

Om element a tillhör mängden M, men inte b kan vi skriva

 

a ∈ M, b ∉ M.

 

Man måste kunna avgöra om ett element tillhör en mängd eller inte, den måste vara väldefinierad. "Alla fattiga personer" är alltså ingen mängd.

 

Represetationer av mängder

Det finns flera olika sätt att beskriva mängder.

 

1. Med en bild

2. Med ord: "M är mängden av positiva heltal mindre än 11 som inte är delbara med 3"

3. Genom en uppräkning inom mängdklamrar: " M = {0, 1, 4, 5, 7, 8, 10, 11}

4. Med mängdbyggaren: M = {x | x är heltal och x < 11 och 3 ∤ x}

 

Speciella mängder

I olika situationer använder vi olika mängder som vi utgår ifrån. När vi räknar med delbarhet använder vi de hela talen medan när vi deriverar funktioner oftast använder de reella talen. Alla element som kan komma i fråga i en viss situtation tillhör grundmängden. 

Vi kan med hjälp av grundmängden vara mer precis i hur vi uttrycker oss:

 

M = {x ∈ Z och x < 11 och 3 ∤ x}

 

Den mängd som inte innehåller några element kallas den tomma mängden och betecknas ∅ eller {}.

 

Mängden M = {n | n ∈ Z, n(n - 1)=7} har inga element eftersom ekvationen inte har några heltalslösningar. Vi skriver M = ∅. 

 

Standardmängder

Vissa mängder är så vanliga att de har fått egna beteckningar och kallas standardmängder.

 

De naturliga talen: ℕ = {0, 1, 2, 3 …}

De hela talen: ℤ = {…-2, -1, 0, 1, 2 …}

De rationella talen: ℚ = {alla tal a/b är a och b är heltal och b ≠ 0}

De reella talen: ℝ = {alla reella tal}

De komplexa talen: ℂ = {alla komplexa tal}

 

Delmängd

Vi har två mängder A och B, A = {1, 3}, B = {1 ,3 , 4}, C = {3, 1}.

 

Eftersom vi kan räkna elementen i vilken ordning vi vill gäller A = C.

Alla element i A finns även i C. Vi skriver då C ⊆ A (utläses C är en delmängd av A).

Om en mängd är en delmängd av en annan mängd men inte lika kallas det för en äkta delmängd. Det gäller att C ⊂ A (uttalas C är en äkta delmängd av A).

Varje mängd är en delmängd av sig själv, alltså är A ⊆ C. Det gäller även att den tomma mängden är delmängd till alla mängder, exempelvis ∅ ⊂ B.

 

Hur många delmängder finns det?

 

Antag att vi har en mängd                                              .

 

I en delmängd till M är antalet element 0, 1, 2, 3, … n.

 

0 elementen kan väljas på               sätt. Detta är delmängden ∅.

 

 

1 element kan väljas på              sätt.

 

 

2 element kan väljas på           sätt.

 

 

3 element kan väljas på           sätt.

 

…

 

n element kan väljas på              sätt.

 

 

Antalet delmängder är 

 

 

Vi ska senare visa att summan blir         . Antalet delmängder av en mängd med n element är        .

 

Vi kan även övertyga oss om att det stämmer med följande resonemang: 

För varje element i mängden kan man välja om elementet ska tillhöra mängden eller inte. Enligt multiplikationsprincipen blir antalet delmängder         .

 

Standardmängderna är delmängder av varandra

De naturliga talen är en delmängd av de hela talen som är en delmängd av de rationella talen som i sin tur är en delmängd av de reella talen. De reella är delmängd av de komplexa talen.

Vi kan skriva ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ. Vi kan rita följande figur: