DANIELS MATTE 

​Talmängder
Människor har alltid haft ett behov av att kunna räkna, oavsett om det har varit att man vill veta hur många guldmynt man har i sin börs eller storleken av en befolkning. Men under tidens lopp har olika tal utvecklats. Olika tal? Hur kan det finnas olika tal? 

​

Med våra 10 siffror kan vi skriva oändligt många tal. Man kan dela in talen i olika grupper, talmängder.

När vi för tusentals år sedan behövde räkna föremål i vår omgivning använde vi talen 0, 1, 2, 3 och så vidare. De här talen kallas de naturliga talen. Naturliga tal är alltså alla positiva tal och talet noll. 
ℕ = 0, 1, 2, 3 …



Så småningom utvecklades vårt samhälle med handel. Vi behövde nya tal som kunde beskriva skulder. Man införde de negativa talen. Negativa tal är mindre än noll. Vårt ”talförråd” innehöll nu både naturliga tal och de ”färska” negativa talen. Vi hade nu de hela talen.

ℤ = … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …



Efter en ännu massa år behövde vi ännu fler tal. Vi ville kunna beskriva delar av någonting, ”1/3 av tårtan”. Vi införde bråken, kvoten av två heltal. Nu hade vi ett förråd med både bråk och hela tal, de rationella talen.  

Q = a/b, a och b heltal, b ≠ 0

 

​

Har du hört talas om talet π ? Det är exempel på ett tal som inte kan skrivas som ett bråk. Sådana tal kallas irrationella tal. Decimalerna fortsätter i alla oändlighet. Nu har vi både rationella och irrationella tal, de har fått namnet de reella talen. Om vi ritar en tallinje kan vi nu fylla i alla punkter på tallinjen. Varje punkt motsvarar ett reellt tal.

R = alla tal på tallinjen

De naturliga talen är en del av de hela talen som är en del av de rationella talen som i sin tur är en del av de reella talen. Vi kan rita en bild:



























 





​Jämna och udda tal
Tal som slutar på 0, 2, 4, 6, eller 8 kallas och jämna och de som slutar på 1, 3, 5, 7, och 9 udda. Talet 1432 är jämnt och talet 7659 udda.



 

Delbarhet och primtal

Om vi två heltal går jämt upp säger vi att de är delbara med varandra.



Ett tal är delbart med

2  om talet är jämt
3  om talets siffersumma (summan av siffrorna i talet) är delbar med 3
5  om talet slutar på 5 eller 0
6  om talet är delbart med 2 och 3
10  om talet slutar på 0

​

Ett tal som inte är delbart med något annat heltal än 1 och sig själv kallas primtal. Man brukar inte räkna 1 som ett primtal. Ett exempel på ett primtal är 5 som bara är delbart med 1 och 5. Det finns oändligt många primtal, de första tio är: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 39. 2 är det enda jämna primtalet.

​

Tal som kan delas upp fler faktorer än bara sig själv och 1 kallas sammansatta. 12 är ett sammansatt tal eftersom det har faktorerna 4 och 3. Men det går att dela upp det i fler faktorer, 4 = 2 ∙ 2, alltså är 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3. Om det inte går att dela upp ett tal mer kallas faktorerna primfaktorer. 12 har alltså primfaktorerna 2, 2 och 3.

​

För att hitta primfaktorer kan du göra ett faktorträd:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 är delbara med alla tal den har grenar till. Det är alltså 4, 3 och 2. Primfaktorerna är de tal som inte har någon gren under sig. Det är 2, 2 och 3.





Negativa tal
Negativa tal är tal under noll. För att räkna med dem använder vi speciella regler. Istället för att talen 2 och 5 osv. kan vi kalla dem a och b. Då gäller det för alla tal.



Addition och subtraktion
a + (-b) = a - b
a - (-b) = a + b



Multiplikation

a∙(-b) = -a∙b
(-a)∙(-b) = ab



Division
a/-b = -a/b = -(a/b)
-a/-b = a/b



Lika tecken ger plus och olika tecken ger minus.





 

Potensform

2  betyder att 2 ska multipliceras, gångras tre gånger, 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2  =  8
23 är skrivet i potensform och uttalas ”två upphöjt till tre”.
2 kallas bas och 3 exponenten 3. Exponenten talar om hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv.



Om vi tar  23 ∙ 22  får vi 23 ∙ 22 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2). Eftersom det är 5 tvåor multipliceras med varandra kan vi skriva det som 23 ∙ 22 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2) = 25. Detta är samma som 23+2. När vi multiplicerar två potenser med samma bas adderar vi alltså exponenterna.



Om vi tar 24 / 22 får vi 24 / 22 = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) / (2 ∙ 2). Om vi har multiplicerat fyra tvåor och sedan dividerat med två tvåor är det samma sak som att ha multiplicerat med två gånger. 24 / 22 = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) / (2 ∙ 2) =  2 ∙ 2. Och 2 ∙ 2 = 22. Det här samma som 24-2.

När man dividerar två potenser med samma bas subtraherar man exponenterna.

Om vi tar 22 / 22 får vi 22-2 = 20. Men eftersom 22 / 22 = (2 ∙ 2) / (2 ∙ 2) = 1 betyder det att 20 = 1.



Istället för att ta sifferexempel kan vi kalla basen a och exponenterna x och y.

 

ax ∙ ay  = ax+y

ax / ay  = ax-y

a0  =  1

(-1)2 = (-1) ∙ (-1) = 1
(-1)3 = (-1) ∙ (-1) ∙ (-1) = -1



Ett negativt tal upphöjt till ett jämnt tal är ett positivt tal. Ett negativt tal upphöjt till ett udda tal är ett negativt tal.

0,55 = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,03125.



Om man tar ett decimaltal med x decimaler upphöjt till ett tal y får det nya talet x ∙ y antal  decimaler.





​

Kvadrattal och kvadratrot
Ett tal som kan skrivas som ett heltal gånger sig självt kallas kvadrattal. Ett exempel är 4. 4 = 2 ∙ 2 = 22. Det uttalas ”två upphöjt till två” men man kan också säga ”3 i kvadrat” och ”kvadraten på 3”.



Ett decimaltal i kvadrat får får dubbelt så många decimaler:

0,22 = 0,2 ∙ 0,2 = 0,04
0,052 = 0,05 ∙ 0,05 = 0,0025



Hur lång är sidan i en kvadrat med arean 16 cm2? Eftersom en kvadrat har lika långa sidor ska vi alltså alltså räkna ut vilket tal som gånger självt blir 16. Det är kvadraten baklänges och kallas kvadratroten. Det är ju 4, 4 ∙ 4 = 16. Man säger att kvadratroten ur, eller roten ur, 16 är 4, √16 = 4.



Hur lång är sidan är i en kvadrat med arean 7 cm2? Eftersom inget tal i bråkform eller decimalform i kvadrat blir √7 det exakta värdet. Det är ett irrationellt tal. Om vi slår in det på räknaren kan vi ett avrundat värde på sidans längd, 2,65 cm.





​Pythagoras sats
Om du har en triangel med en rät vinkel kan du vara säker på att det finns ett samband mellan sidorna i triangeln. Det sambandet kallas Pythagoras sats. Det kan du använda om du vill veta om en triangel är rätvinklig eller inte, men du kan också räkna ut hur lång en sida är om du veta vad de två andra är.



I en rätvinklig triangel kallas den längsta sidan hypotenusa och de andra sidorna kateter.

Pythagoras sats säger att ”summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan”. Om vi kallar hypotenusan c och kateterna a blir sambandet:



a2 + b2 = c2





För att kolla att den verkligen stämmer kan vi rita en figur:

 

 

Den stora kvadratens area är lika med summan av de två mindre kvadraternas areor.



32 + 42 = 52
9 + 16 = 25 

Alltså verkar den stämma!

För att kolla om en triangel är rätvinkel jämför vi kvadraten på hypotusan (c2) med summan av kateterns kvadrater (a2 + b2). Är de lika, är triangeln rätvinklig. Om inte, är den inte rätvinklig.

 

a2 + b2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
c2 = 42 = 16

a2 + b2 ≠ c2

(≠ betyder ”inte lika med”.) Detta betyder att triangeln inte är rätvinklig.

Vet vi två sidor i en rätvinklig triangel kan vi räkna ut den tredje.

 

 

Precis som vi ger namn åt nyfödda barn kan ge namn åt saker vi inte känner inom matematiken. Om vi kallar den tredje sidan x ger Pythagoras sats att
x2 + 82 = 102
x2 + 64 = 100
x2 + 64 - 64 = 100 - 64
x2 = 36
x = √36 eller x = -√36 eftersom ett negativt tal i kvadrat också är positivt.
Kan en sträcka vara negativ? Nej, därför slänger den lösningen i papperskorgen.
x = 6



​Triangeltal och rektangeltal
Om vi har 6 kulor kan vi forma dem i en triangel. Talet 6 kallas därför ett triangeltal. Men det kan också läggas som en rektangel. Det är därför också ett rektangeltal.
Kvadrattalen, som 4, kan läggas i en kvadrat.