DANIELS MATTE 

Utfall som inte påverkas av tidigare försök kallas oberoende. Det är till exempel tärningskast och myntsingling.

När du kastar en tärning kan det inträffa 6 möjliga utfall. Kastar du två tärningar är det 6 utfall på varje tärning. Vid en oberoende händelse mutliplicerar man antalet utfall i varje försök för att få det totala antalet utfall. Antalet utfall vid kast med två tärningar är alltså 6 ∙ 6 = 36. Det kallas multiplikationsprincipen.

 

För att åskådliggöra utfallen kan vi göra en tabell med möjliga talpar. Lägg märke till att (1, 2) och (2, 1) är olika utfall trots att man oftast betraktar det som samma resultat när man kastar tärning.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Betydligt överskådligare blir det om man ritar upp ett diagram där varje punkt motsvarar ett utfall.

Det används när vi har ett försök med likformig sannolikhetsfördelning (alla utfall är lika troliga) i två steg. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Med diagrammet till hands kan vi beräkna till synes komplicerade sannolikheter.

 

Vad är sannolikheten summan blir fyra vid kast med två tärningar?

 

Vi markerar händelsen i diagrammet. Vi ser att den består av tre utfall, sannolikheten blir alltså 3/36 = 1/12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Det är mycket viktigt att skilja på orden och samt eller inom sannolikhetsläran.

Händelsen A eller B innebär att punkter som finns i minst en av händelserna ska räknas medan händelsen A och B innebär att punkter som finns i båda händelserna ska räknas.

 

Vi kastar två tärningar.

 

Händelse A: tärning 1 visar två prickar,

händelse B: tärning 2 visar minst 5 prickar.

 

Vi markerar händelserna i ett diagram.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Träddiagram

Många försök har olikformig sannolikhetsfördelning, dvs alla utfall är inte lika troligt. Sannolikheten att du sätter en straff är nog inte lika stor som att missar en straff, sannolikheten att det blir rött vid ett trafikljus är oftast inte lika stor som att det blir grönt.

 

Vid försök med olikformig sannolikhetsfördelning är det inte så bra att använda diagrammen vi tittade på förut. Istället ska vi använda träddiagram. Det går också att använda vid likformig sannolikhetsfördelning, som när man singlar slant.

 

På väg till skolan passerar du två trafikljus. Sannolikheten för rött vid första trafikljuset är 0,7 och vid andra trafikljuset 0,8. Trafikljusen är oberoende av varandra, dvs resultatet av första försöket (trafikljuset) påverkar inte det andra. Vad är sannolikheten att du får rött minst en gång?

 

Vi ritar ett träddiagram:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

För varje händelse grenar sig diagrammet. Den första förgreningen är trafikljus 1 och den andra förgreningen trafikljus 2. Summan av alla grenar vid varje förgreninge är 1. 

För att få sannolikheten för ett utfall, en gren, mutliplicerar man sannolikheterna längs grenen. 

 

P(rött, rött) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56

P(rött, grönt) = 0,7 ∙ 0,2 = 0,14

P(grönt, rött) = 0,3 ∙ 0,8 = 0,24

P(grönt, grönt) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06

 

Sannolikheten för att få minst ett rött ljus är alltså P(rött, rött) + P(rött, grönt) + P(rött, grönt) = 0,56 + 0,14 + 0,24 = 0,94.

 

Komplementhändelse

I vissa situationer kan det vara enklare att beräkna motsatsen till den sannolikheten man vill ta reda på, den så kallade komplementhändelsen.  

Vad är till exempel sannolikheten att man inte får två sexor vid kast med två tärningar? Det är mycket enklare att beräkna sannolikheten att man får två sexor vid kast med två tärningar, den är ju 1/36. Sannolikheten att man inte får två sexor måste ju då vara 1 - 1/36 = 35/36.

 

För en händelse A och dess komplementhändelse A̅ gäller

 

P(A) + P(A̅) = 1

 

 

Komplementhändelser är mest användbara i sutuationer med "minst …" och "högst…"

Exempel på komplementhändelser finns i tabellen:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi återgår till trafikljusen. Då beräknade vi P(minst ett rödljus) genom

P(rött, rött) + P(rött, grönt) + P(grönt, rött) = 0,96.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nu kan vi istället beräkna P(minst ett rödljus) med komplementhändelse. Kalla händelsen "minst ett rödljus" A. Då är P(A̅) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06. Eftersom P(A) + P(A̅) = 1 är P(A) = 1 - 0,0,6 = 0,94.

 

 

Risk- och säkerhetsbedömningar

 

Runt omkring finns många olika sorters spel, kortkoder och lösenord. Det är därför viktigt att kunna bedöma hur stor risken är att ens pinkod ska kli kapad eller att förlora på ett spel.

 

En bankomatkod består av fyra siffror mellan 0 och 9. Man har tre försök att skriva in koden innan bankomaten behåller kortet. Hur stor är risken att en kapare lyckas stjäla pengar?

 

Vi tar först reda på hur många möjliga sifferkombinationer det finns.

Varje siffra kan väljas på 10 sätt. Antalet sifferkombinationer är då enligt multiplikationsprincipen

 

                                .   

 

Kaparen hinner testa 3 kombinationer. Sannolikheten att han kapar kortet är då