DANIELS MATTE 

Grafen till en funktion y = kx + m är en rät linje.

 

m-värdet anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln. Koordinaten för skärningspunkten är (0, m).

 

k-värdet är ett mått på linjens lutning och anger hur mycket linjen förändras (stiger/faller) för varje steg vi går åt höger i x-led.

 

Om k = 0 är funktionen en konstant funktion.

Om k > 0 stiger funktionen .

Om k < 0 faller funktionen.

 

Linjens lutning

För att beräkna lutningen för en linje genom två punkter använder

vi följande formel:

 

 

 

 

Linjens k-värde kallas riktningskoefficient.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Horisontella och vertikala linjer

En linje parallell med x-axeln kallas vågrät eller horisontell. Eftersom linjen inte lutar är                   och därmed k = 0. En horisontell linje har ekvationen y = k, där k är en konstant.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En linje parallell med y-axeln kallas lodrät eller vertikal.

En linje saknar k-värde eftersom               och division med 0 är odefinierat.

Ekvationen för en vertikal linje är x = k, där k är en konstant.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Parallella och vinkelräta linjer

Två icke-vertikala linjer med riktningskoefficienterna        och        är

 

 

- parallella om och endast om 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- vinkelräta om och endast om                             , alltså                    .

 

 

 

 

 

 

 

 

k-form och enpunktsform

 

För att bestämma en linjes ekvation om vi vet en punkt den går igenom och lutningen finns två metoder.

Vi tar som exempel att funktionen y går igenom punkten (2, 1) och har lutningen k = 3.

 

Metod I

Vi vet att x = 2, y = 1 och k = 3.

Insatt i y = kx + m ger det

1 = 3 ∙ 2 + m ⇔ m = -5

 

Linjens ekvation är y = 3x - 5.

 

Det finns en annan metod där man inte behöver räkna ut m-värdet.

 

Vi utgår från formeln                       . Vi låter punkt 1 vara den som vi vet ligger på linjen och (x, y) en

 

annan godtycklig punkt på linjen (vilken som helst).

 

Då blir formeln istället                        eller                                             .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Metod II

Vi vet att x = 2, y = 1 och k = 3.

Insatt i                                   ger det

 

y - 1 = 3(x - 2) ⇔

y - 1 = 3x - 6 ⇔

y = 3x - 5

 

Linjens ekvation är y = 3x - 5.

 

Räta linjens ekvationen kan skrivas på två former:

 

y = kx + m är räta linjens ekvationen i k-form, där k är lutningen och m skärningen med y-axeln.

 

                                   är räta linjens ekvationen i enpunktsform, där k är lutningen och                 koordinaterna för en punkt på linjen.