DANIELS MATTE 

När man pratar om gränsvärde pratar man ofta om ”när x närmar sig …”. Men vad menar man egentligen med ”närmar sig”? Ur matematisk synpunkt behöver begreppet gränsvärde en exakt definition. Här följer den:

 

Antag att f(x) är en funktion vars definitionsmängd innehåller godtyckligt stora reella tal. Vi säger att f(x) har gränsvärdet A då x går mot oändligheten om det till varje givet ε > 0 finns ett ω (beroende av ε) sådant att

 

 

 

 

 

Detta skrivs                           då                        eller

 

 

 

 

(Utläses: ”limes (gränsvärdet) av f(x) då x går mot oändligheten är lika med A.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vad betyder då detta?

 

Jo, innebörden är att funktionen har gränsvärdet A då om funktionsvärdena uppfyller varje givet toleranskrav av formen

 

 

 

så snart x är tillräckligt stort, det vill säga för alla x > ω.

 

Ju mindre ε som väljs desto större måste ω i regel vara för att toleranskravet ska vara uppfyllt.

 

Talföljder                 kan ses som funktioner med de naturliga talen som definitionsmängd. Speciellt med talföljder är att de kallas konvergenta om den har gränsvärde då                  och konvergent om den inte har det.