DANIELS MATTE 

 

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

 

När du singlar slant vet du aldrig om du kommer få krona eller klave, resultatet beror av slumpen. Det är ett så kallad slumpförsök. Du vet aldrig vad du kommer få när du kastar en enstaka gång, men efter fler och fler gånger kan vi bättre förutsäga resultatet. 

 

De möjliga resultaten av ett slumpförsök kallas utfall:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mängden av alla utfall kallas utfallsrummet och betecknas ofta 𝛀. För en tärning är 𝛀 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} och för ett mynt  𝛀 = {krona, klave}.  

 

När du singlar slant eller kastar en symmetrisk tärning inträffar alla utfall med samma sannolikhet. Det kallas likformig sannolikhetsfördelning.

 

Ett specifikt resultat kallas en händelse och består av ett eller flera utfall. Exempelvis är ”krona vid kast med mynt” en händelse som består av 1 av de 2 möjliga utfallen.

 

Vi säger att sannolikheten att få krona är 1/2, 0,5 eller 50 % (det spelar ingen vilken form). Det skrivs: P(krona) = 0,5 (P = sannolikhet (probability))

 

Sannolikheten för en händelse H är ett tal från och med 0 till och med 1, 0 ≤ P(H) ≤ 1.

 

En händelse som alltid inträffar har sannolikheten 1 (100 %). Då består händelsen av alla utfall som finns i utfallsrummet. Exempelvis är P(ett naturligt tal ≤ 6) = 1 vid kast med tärning.

 

En händelse som aldrig inträffar har sannolikheten 0 (0 %). Då består händelsen inte av något utfall som finns i utfallsrummet. Exempelvis är P(sjua) = 0 vid kast med tärning.

 

I vardagsspråket används ofta chans och risk istället för sannolikheten. Chans talar man om när man vill att någon ska inträffa ”chansen för vinst är 10 %” medan risk står för en händelse man inte vill ska inträffa ”risken att förlora är 90%”.

 

I en skål finns 3 röda kulor och 2 gröna kulor. Vi tar en kula. Hur stor är sannolikheten att man får en grön kula?

 

Det är 5 möjliga utfall, 2 av dem utgör vår händelse. Vi säger att dem är gynnsamma. 

Alltså är:

 

 

 

 

 

 

 

Vi räknar alltså ut sannolikheten för en händelse A så här:

 

 

 

 

Observera att det bara gäller om alla utfall är lika troliga. Skulle du ha en tärning som är avlång är det mer troligt att den hamnar på den yta som har störst area.

 

Vad är sannolikheten att få en två eller trea vid kast med tärning?

 

Om vi kallar händelsen att få en tvåa A och att få en trea B får vi P(A eller B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

 

Vad är sannolikheten att få ett jämnt antal prickar eller fler än 4 prickar vid kast med en tärning?

 

Vi kallar händelsen att få ett jämnt antal prickar A och att få fler än fyra prickar B. A består av utfallen {2, 4, 6} och B av {5, 6}. Då är P(A) = 3/6 = 1/2 och P(B) = 2/6 = 1/3. Men eftersom 6 förekommer i både händelse A och B får vi

 

P(A eller B) = P(A) + P(B) - P(A och B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3 

 

Vi kan sammanfatta vårt resultat i ett axiom. 

 

För två händelser A och B gäller:

 

P(A eller B) = P(A) + P(B)                       om A och B inte har några gemensamma utfall

P(A eller B) = P(A) + P(B) - P(A och B) om A och B har gemensamma utfall